Chapter 1: Vector Spaces

$\mathbb{R}^n$ 与 $\mathbb{C}^n$

复数

复数的定义：

复数的性质：

证明：

交换律：

Let: $\alpha = a + bi$, $\beta = c + di$

Then: $\alpha + \beta = (a + c) + (b + d)i = \beta + \alpha$

$\alpha\beta = (ac-bd) + (ad+bc)i = \beta\alpha$

$\blacksquare$

结合律：

Let: $\alpha = a + bi$, $\beta = c + di$, $\gamma=e+fi$ where $a,b,c,d,e,f\in\mathbb{R}$

Then: $(\alpha + \beta) +\gamma = (a + c + e) + (b + d + f)i = \alpha + (\beta + \gamma)$

$(\alpha\beta)\gamma = (ace-adf-bcf-bde)+(acf+ade+bce-bdf)i = \alpha(\beta\gamma)$

$\blacksquare$

单位元：

Let $\gamma = a+bi$

Then:

$\gamma + 0 = a + bi + 0 = (a + 0) + bi = a + bi = \gamma$

$\gamma1=(a+bi)*1=a+bi=\gamma$

$\blacksquare$

加法逆：

For any $\alpha = a+bi \in \mathbb{C}$, we can construct $\beta = -a - bi$, then:

$\alpha+\beta = (a-a) + (b-b)i = 0$

$\blacksquare$

乘法逆：

For any $\alpha = a+bi \in \mathbb{C}$ such that $\alpha\ne 0$, we can construct $\beta = \frac{a-bi}{a^2+b^2}$, then:

$\alpha\beta = (a+bi)\frac{a-bi}{a^2+b^2}=\frac{a^2+b^2}{a^2+b^2}=1$

$\blacksquare$

分配律：

Let: $\alpha = a + bi$, $\beta = c + di$, $\gamma=e+fi$, where $a,b,c,d,e,f\in\mathbb{R}$

$\gamma(\alpha+\beta)=(ae+ce-bf-df)+(af+be+cf+de)i=\gamma\alpha+\gamma\beta$

$\blacksquare$

$-\alpha$、减法、$1/\alpha$、除法：

$\mathbb{F}$：域，在本书中表示 $\mathbb{C}$ 或 $\mathbb{R}$。

组（Lists）

组的定义：

长度为 2 的组为对，长度为 3 的组为三元组，长度为 $n$ 的组为“n 元组”。

组的长度有限

$\mathbb{F}^n$

$\mathbb{F}^n$ 定义：$\mathbb{F}$ 中长度为 $n$ 的组的集合，即 $\mathbb{F}^n={(x_1,…,x_n):x_j\in\mathbb{F}, j = 1,…,n}.$

$\mathbb{F}^n$ 加法：对应坐标相加：$(x_1,…,x_n)+(y1,…,yn)=(x_1+y_1,…,x_n+y_n).$

$\mathbb{F}^n$ 加法交换律证明：

Let $x = (x_1,…,x_n)$, $y=(y_1,…,y_n)$

Then: $x + y = (x_1+y_1,…,x_n+y_n)$ $=(y_1+x_1,…,y_n+x_n)$ $=y+x$ $\blacksquare$

$\mathbb{F}^n$ 里面的元素可以称为向量。

$0$ 向量的定义： $0=(0,…,0)$

加法逆元的定义：$x+(-x)=0$，即：$x = (x_1,…,x_n)$，则$-x=(-x_1,…,-x_n)$

标量乘法的定义：$\gamma(x_1,…,x_n) = (\gamma x_1,…,\gamma x_n)$

Definition of Vector Spaces

向量空间

首先定义集合内的加法与数乘：

向量空间的定义：

向量空间内的元素可称为向量或者点。

在 $\mathbb{R}$ 上的向量空间为实向量空间，在 $\mathbb{C}$ 上的向量空间为复向量空间。

$\mathbb{F}^S$

$\mathbb{F}^S$ 是定义域为集合 $S$，值域为数域 $\mathbb{F}$ 的函数的集合。

$\mathbb{F}^S$ 是一个向量空间。

向量空间的基本性质

证明：

唯一加法单位元：

Suppose $0$ and $0’$ are both the additive identities for a vector space $V$.

Then: $0’ = 0’ + 0 = 0 + 0’ = 0$

So the additive identity is unique for a vector space.

$\blacksquare$

唯一加法逆：

Suppose $V$ is a vector space, $v\in V$, $w$ and $w’$ are both additive inverse of $v$.

Then: $w’ = w’ + 0 = w’ + (v + w) = (w’ + v) + w = = 0 + w = w$

So the additive inverse is unique in a vector space.

$\blacksquare$

0 数乘任何向量得向量 0：

For $v\in V$, we have:

$0v=(0+0)v=0v+0v$

add the additive inverse of $0v$ to both side of the equation, we get:

$0 = 0v$

$\blacksquare$

任何数数乘向量 0 得向量 0:

For $a\in F$, we have:

$a0 = a(0+0) = a0+a0$

add the additive inverse of $a0$ to both side of the equation, we get:

$0 = a0$

$\blacksquare$

-1 数乘向量得到该向量的加法逆:

For $v\in V$, we have:

$v + (-1)v =1v + (-1)v = (1+(-1))v=0v=0$

So $(-1)v$ is the additive inverse of $v$.

So $(-1)v = -v$

$\blacksquare$

子空间

子空间的定义与条件

如果向量空间 $V$ 的子集 $U$ 也是一个向量空间，那么称 $U$ 是 $V$ 的子空间。

子集为子空间的条件：

证明：

Suppose $U$ is a subset of vector space $V$ and satisfy the conditions above.

The additive identity exist.

Since $U$ is closed under addition and scalar multiplication, these 2 operation over this set exists.

If $u\in U$, then $-u$ must also in $U$ because $U$ is closed under scalar multiplication, so the additive inverse exists.

The reset of definition, associativity, commutativity, multiplicative identity, distributive properties, they hold on the larger space $V$, so they also hold in $U$.

$\blacksquare$

一个例子：所有定义在 $(0,3)$ 上，且满足 $f’(2) = b$ 的可微实值函数集合是 $\mathbb{R}^{(0,3)}$ 的子空间，当且仅当 $b = 0$。因为零函数需要在子空间中，且需要满足 $f’(2) = b$ 的条件。

子空间的和

假如 $U_1,…,U_m$ 是 $V$ 的子空间，那么 $U_1,…,U_m$ 的和记作 $U_1+…+U_m$，定义为所有可能的来自这些子空间的元素的和的集合，即：

$U_1+…+U_m={u_1+…+u_m:u_1\in U_1,…,u_m\in U_m}$

一个例子是，平面直角坐标系中，横轴和竖轴是平面的两个子空间，它们的和为整个平面，而它们的并为两个数轴组成的十字区域。

子空间的和是包含这些子空间的最小子空间。

证明：

Easy to see that $0\in U_1+…+U_m$ and $U_1+…+U_m$ is closed under addition and scalar multiplication, thus the sum of subspaces is a subspace.

Clearly $U_1,…,U_m$ are all contained in $U_1+…+U_m$. Conversely, every subspace of $V$ containing $U_1,…,U_m$ contains $U1+…+U_m$.

Thus $U_1+…+U_m$ is the smallest subspace of $V$ containing $U_1,…,U_m$.

直和

假设 $U_1,…,U_m$ 是 $V$ 的子空间。如果 $U_1+…+U_m$ 中的元素只能以一种方式表示为 $u_1+…+u_m$（$u_i\in U_i$），那么称 $U_1+…+U_m$ 为直和。记作 $U_1\oplus …\oplus U_m$。

直和的条件（当且仅当）：只有一种方式将 $0$ 表示为 $u_1+…+u_m$（$u_i\in U_i$），那就是取每个 $u_i = 0$。

证明：(当方向，仅当方向显然)

When there is only one way to represent $0$ as $u_1+…+u_m$ （$u_i\in U_i$）:

Suppose there is 2 ways to represent an arbitary element $v$ in the sum as $u_i+…+u_m$, then we have:

$v = u_1+…+u_m$

$v = v_1+…+v_m$

substract these 2 equation, we get:

$0 = (u_1-v_1) + … + (u_m-v_m)$

Since $0$ can be only write in one way as $0 = 0 +… + 0$, we have:

$u_1 = v_1, …, u_m = v_m$

So an arbitary element can be only write in one way.

Thus this is a direct sum.

$\blacksquare$

直和的条件（当且仅当）：$U\cap W = {0}$（$U$ 与 $W$ 为子空间 ）

证明：

only if direction: If $v\in U\cap W$, $0 = v + (-v)$ where $v \in U$ and $-v \in W$, because the representation is unique of zero, we have: $v=0$

if direction:

Suppose $U\cap W = {0}$ and $0 = u + w, u\in U, w\in W$

then we have: $u= -w \in W$, thus $u\in U\cap W$, thus $u = 0$, thus $w = 0$, thus $0=0+0$ is the only representation.

$\blacksquare$